В октябре собираюсь в Стамбул примерно на десять дней. Несколько дней хочу провести в самом городе, а потом съездить в окрестности и посмотреть другие интересные места. Поэтому думаю взять машину на весь срок поездки. Кто-нибудь может посоветовать проверенный вариант?

Я бы посмотрел Rent-Trip — тут есть довольно большой выбор автомобилей для поездок по Стамбулу.
https://rent-trip.com/turkey/istanbul/
Можно найти как небольшие машины эконом-класса, так и SUV или более дорогие варианты. Ещё удобно, что доступны разные сроки аренды, включая посуточный и помесячный формат. Насколько я понял, автомобиль также могут доставить по нужному адресу или в аэропорт. Я бы заранее написал менеджеру и указал даты поездки, чтобы проверить наличие конкретной машины. Перед бронированием стоит уточнить итоговую стоимость, страховку и условия возврата.